{l}{y+3x=56}{x+4y=34} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y+3x=56$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3x वजा करा.

$$y=-3x+56$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -3x+56 चा विकल्प वापरा, 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

-3x+56 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-12x+224+x=34$$

-12x ते x जोडा.

$$-11x+224=34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 224 वजा करा.

$$-11x=-190$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$x=\frac{190}{11}$$

y=-3x+56 मध्ये x साठी \frac{190}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

\frac{190}{11} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

56 ते -\frac{570}{11} जोडा.

$$y=\frac{46}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

y आणि 4y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

सरलीकृत करा.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4y+12x=224 मधून 4y+x=34 वजा करा.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

4y ते -4y जोडा. 4y आणि -4y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12x-x=224-34$$

12x ते -x जोडा.

$$11x=224-34$$

224 ते -34 जोडा.

$$11x=190$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$x=\frac{190}{11}$$

4y+x=34 मध्ये x साठी \frac{190}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{190}{11} वजा करा.

$$4y=\frac{184}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=\frac{46}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$