{l}{y+25x=45}{y+.30x=35} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y + 25 x = 45 } \\ { y + .30 x = 35 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=\frac{100}{247}\approx 0.4048583$$

$$y = \frac{8615}{247} = 34\frac{217}{247} \approx 34.87854251$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y+25x=45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 25x वजा करा.

$$y=-25x+45$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -25x+45 चा विकल्प वापरा, y+0.3x=35.

$$-25x+45+0.3x=35$$

-25x ते \frac{3x}{10} जोडा.

$$-24.7x+45=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 45 वजा करा.

$$-24.7x=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -24.7 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{100}{247}$$

y=-25x+45 मध्ये x साठी \frac{100}{247} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-25\times \frac{100}{247}+45$$

\frac{100}{247} ला -25 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{2500}{247}+45$$

45 ते -\frac{2500}{247} जोडा.

$$y=\frac{8615}{247}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.3}{0.3-25}&-\frac{25}{0.3-25}\\-\frac{1}{0.3-25}&\frac{1}{0.3-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}&\frac{250}{247}\\\frac{10}{247}&-\frac{10}{247}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}\times 45+\frac{250}{247}\times 35\\\frac{10}{247}\times 45-\frac{10}{247}\times 35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8615}{247}\\\frac{100}{247}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y+25x=45 मधून y+0.3x=35 वजा करा.

$$y-y+25x-0.3x=45-35$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$25x-0.3x=45-35$$

25x ते -\frac{3x}{10} जोडा.

$$24.7x=45-35$$

45 ते -35 जोडा.

$$24.7x=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 24.7 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{100}{247}$$

y+0.3x=35 मध्ये x साठी \frac{100}{247} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+0.3\times \frac{100}{247}=35$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{100}{247} चा 0.3 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y+\frac{30}{247}=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{30}{247} वजा करा.

$$y=\frac{8615}{247}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$