{l}{x-y=3}{2x+3y=19} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$x=y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+3 चा विकल्प वापरा, 2x+3y=19.

$$2\left(y+3\right)+3y=19$$

y+3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+6+3y=19$$

2y ते 3y जोडा.

$$5y+6=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$5y=13$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{13}{5}$$

x=y+3 मध्ये y साठी \frac{13}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{13}{5}+3$$

3 ते \frac{13}{5} जोडा.

$$x=\frac{28}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{5}\\\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 3,2x+3y=19$$

सरलीकृत करा.

$$2x-2y=6,2x+3y=19$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-2y=6 मधून 2x+3y=19 वजा करा.

$$2x-2x-2y-3y=6-19$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y-3y=6-19$$

-2y ते -3y जोडा.

$$-5y=6-19$$

6 ते -19 जोडा.

$$-5y=-13$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=\frac{13}{5}$$

2x+3y=19 मध्ये y साठी \frac{13}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\times \frac{13}{5}=19$$

\frac{13}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{39}{5}=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{39}{5} वजा करा.

$$2x=\frac{56}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{28}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$