{l}{x-6=y-6/5}{x+9=y/2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x - 6 = \frac { y - 6 } { 5 } } \\ { x + 9 = \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=14$$

$$y=46$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$5x-30=y-6$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$5x-30-y=-6$$

दोन्ही बाजूंना 30 जोडा.

$$5x-y=-6+30$$

24 मिळविण्यासाठी -6 आणि 30 जोडा.

$$5x-y=24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+18=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2x+18-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 18 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$2x-y=-18$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-y=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$5x=y+24$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+24\right)$$

y+24 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{24+y}{5} चा विकल्प वापरा, 2x-y=-18.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{24}{5}\right)-y=-18$$

\frac{24+y}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}-y=-18$$

\frac{2y}{5} ते -y जोडा.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{48}{5}=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{48}{5} वजा करा.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{138}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=46$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{24}{5} मध्ये y साठी 46 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{5}\times 46+\frac{24}{5}$$

46 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{46+24}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{24}{5} ते \frac{46}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=14$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=14,y=46$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$5x-30=y-6$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$5x-30-y=-6$$

दोन्ही बाजूंना 30 जोडा.

$$5x-y=-6+30$$

24 मिळविण्यासाठी -6 आणि 30 जोडा.

$$5x-y=24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+18=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2x+18-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 18 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$2x-y=-18$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 24-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{5}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\46\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=14,y=46$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$5x-30=y-6$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$5x-30-y=-6$$

दोन्ही बाजूंना 30 जोडा.

$$5x-y=-6+30$$

24 मिळविण्यासाठी -6 आणि 30 जोडा.

$$5x-y=24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+18=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2x+18-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 18 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$2x-y=-18$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-y=24,2x-y=-18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x-y=24 मधून 2x-y=-18 वजा करा.

$$5x-2x-y+y=24+18$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5x-2x=24+18$$

5x ते -2x जोडा.

$$3x=24+18$$

24 ते 18 जोडा.

$$3x=42$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=14$$

2x-y=-18 मध्ये x साठी 14 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2\times 14-y=-18$$

14 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$28-y=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28 वजा करा.

$$-y=-46$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=46$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=14,y=46$$