{l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-3y+9=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$x-3y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$x=3y-9$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -9+3y चा विकल्प वापरा, 3x-2y+1=0.

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

-9+3y ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$9y-27-2y+1=0$$

9y ते -2y जोडा.

$$7y-27+1=0$$

-27 ते 1 जोडा.

$$7y-26=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 26 जोडा.

$$7y=26$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=\frac{26}{7}$$

x=3y-9 मध्ये y साठी \frac{26}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

\frac{26}{7} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{78}{7}-9$$

-9 ते \frac{78}{7} जोडा.

$$x=\frac{15}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

सरलीकृत करा.

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-9y+27=0 मधून 3x-2y+1=0 वजा करा.

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y+2y+27-1=0$$

-9y ते 2y जोडा.

$$-7y+27-1=0$$

27 ते -1 जोडा.

$$-7y+26=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 26 वजा करा.

$$-7y=-26$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=\frac{26}{7}$$

3x-2y+1=0 मध्ये y साठी \frac{26}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

\frac{26}{7} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

-\frac{52}{7} ते 1 जोडा.

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{45}{7} जोडा.

$$3x=\frac{45}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{15}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$