{l}{x-2y=-11}{3x+7y=32} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = - 11 } \\ { 3 x + 7 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-2y=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$x=2y-11$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 2y-11 चा विकल्प वापरा, 3x+7y=32.

$$3\left(2y-11\right)+7y=32$$

2y-11 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-33+7y=32$$

6y ते 7y जोडा.

$$13y-33=32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 33 जोडा.

$$13y=65$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$y=5$$

x=2y-11 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2\times 5-11$$

5 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=10-11$$

-11 ते 10 जोडा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\left(-11\right)+\frac{2}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-11\right)+\frac{1}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-11\right),3x+7y=32$$

सरलीकृत करा.

$$3x-6y=-33,3x+7y=32$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-6y=-33 मधून 3x+7y=32 वजा करा.

$$3x-3x-6y-7y=-33-32$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6y-7y=-33-32$$

-6y ते -7y जोडा.

$$-13y=-33-32$$

-33 ते -32 जोडा.

$$-13y=-65$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$y=5$$

3x+7y=32 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+7\times 5=32$$

5 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+35=32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 35 वजा करा.

$$3x=-3$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=5$$