{l}{x=2y+1}{7x-2y=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x = 2 y + 1 } \\ { 7 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-2y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$x=2y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 2y+1 चा विकल्प वापरा, 7x-2y=1.

$$7\left(2y+1\right)-2y=1$$

2y+1 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$14y+7-2y=1$$

14y ते -2y जोडा.

$$12y+7=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7 वजा करा.

$$12y=-6$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=2y+1 मध्ये y साठी -\frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

-\frac{1}{2} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1+1$$

1 ते -1 जोडा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{1}{-2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+1}{6}\\\frac{-7+1}{12}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-2y=1,7x-2y=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x-2y=1 मधून 7x-2y=1 वजा करा.

$$x-7x-2y+2y=1-1$$

-2y ते 2y जोडा. -2y आणि 2y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x-7x=1-1$$

x ते -7x जोडा.

$$-6x=1-1$$

1 ते -1 जोडा.

$$-6x=0$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$x=0$$

7x-2y=1 मध्ये x साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2y=1$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-\frac{1}{2}$$