{l}{x+y=9}{3x+y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=9,3x+y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+9$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+9 चा विकल्प वापरा, 3x+y=2.

$$3\left(-y+9\right)+y=2$$

-y+9 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y+27+y=2$$

-3y ते y जोडा.

$$-2y+27=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 27 वजा करा.

$$-2y=-25$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=\frac{25}{2}$$

x=-y+9 मध्ये y साठी \frac{25}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{25}{2}+9$$

9 ते -\frac{25}{2} जोडा.

$$x=-\frac{7}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=9,3x+y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=9,3x+y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+y=9 मधून 3x+y=2 वजा करा.

$$x-3x+y-y=9-2$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x-3x=9-2$$

x ते -3x जोडा.

$$-2x=9-2$$

9 ते -2 जोडा.

$$-2x=7$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-\frac{7}{2}$$

3x+y=2 मध्ये x साठी -\frac{7}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3\left(-\frac{7}{2}\right)+y=2$$

-\frac{7}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{21}{2}+y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{21}{2} जोडा.

$$y=\frac{25}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$