{l}{x+y=69}{7x+y=87} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 7 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=66$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=69,7x+y=87$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=69$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+69$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+69 चा विकल्प वापरा, 7x+y=87.

$$7\left(-y+69\right)+y=87$$

-y+69 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-7y+483+y=87$$

-7y ते y जोडा.

$$-6y+483=87$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 483 वजा करा.

$$-6y=-396$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=66$$

x=-y+69 मध्ये y साठी 66 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-66+69$$

69 ते -66 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=66$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=69,7x+y=87$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-7}&-\frac{1}{1-7}\\-\frac{7}{1-7}&\frac{1}{1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{7}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 69+\frac{1}{6}\times 87\\\frac{7}{6}\times 69-\frac{1}{6}\times 87\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\66\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=66$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=69,7x+y=87$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+y=69 मधून 7x+y=87 वजा करा.

$$x-7x+y-y=69-87$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x-7x=69-87$$

x ते -7x जोडा.

$$-6x=69-87$$

69 ते -87 जोडा.

$$-6x=-18$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$x=3$$

7x+y=87 मध्ये x साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$7\times 3+y=87$$

3 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$21+y=87$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 21 वजा करा.

$$y=66$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=66$$