{l}{x+y=65}{5x+35y=1575} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 65 } \\ { 5 x + 35 y = 1575 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3} \approx 23.333333333$$

$$y = \frac{125}{3} = 41\frac{2}{3} \approx 41.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=65,5x+35y=1575$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=65$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+65$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+65 चा विकल्प वापरा, 5x+35y=1575.

$$5\left(-y+65\right)+35y=1575$$

-y+65 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-5y+325+35y=1575$$

-5y ते 35y जोडा.

$$30y+325=1575$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 325 वजा करा.

$$30y=1250$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$y=\frac{125}{3}$$

x=-y+65 मध्ये y साठी \frac{125}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{125}{3}+65$$

65 ते -\frac{125}{3} जोडा.

$$x=\frac{70}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{70}{3},y=\frac{125}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=65,5x+35y=1575$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}65\\1575\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\5&35\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\1575\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\1575\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}65\\1575\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-5}&-\frac{1}{35-5}\\-\frac{5}{35-5}&\frac{1}{35-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}65\\1575\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}&-\frac{1}{30}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}65\\1575\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\times 65-\frac{1}{30}\times 1575\\-\frac{1}{6}\times 65+\frac{1}{30}\times 1575\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{3}\\\frac{125}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{70}{3},y=\frac{125}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=65,5x+35y=1575$$

x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5x+5y=5\times 65,5x+35y=1575$$

सरलीकृत करा.

$$5x+5y=325,5x+35y=1575$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+5y=325 मधून 5x+35y=1575 वजा करा.

$$5x-5x+5y-35y=325-1575$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y-35y=325-1575$$

5y ते -35y जोडा.

$$-30y=325-1575$$

325 ते -1575 जोडा.

$$-30y=-1250$$

दोन्ही बाजूंना -30 ने विभागा.

$$y=\frac{125}{3}$$

5x+35y=1575 मध्ये y साठी \frac{125}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+35\times \frac{125}{3}=1575$$

\frac{125}{3} ला 35 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+\frac{4375}{3}=1575$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4375}{3} वजा करा.

$$5x=\frac{350}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{70}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{70}{3},y=\frac{125}{3}$$