{l}{x+y=500}{25x+35y=1450} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=500$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+500$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+500 चा विकल्प वापरा, 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

-y+500 ला 25 वेळा गुणाकार करा.

$$-25y+12500+35y=1450$$

-25y ते 35y जोडा.

$$10y+12500=1450$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12500 वजा करा.

$$10y=-11050$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=-1105$$

x=-y+500 मध्ये y साठी -1105 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

-1105 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=1105+500$$

500 ते 1105 जोडा.

$$x=1605$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1605,y=-1105$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1605,y=-1105$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

x आणि 25x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 25 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

सरलीकृत करा.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 25x+25y=12500 मधून 25x+35y=1450 वजा करा.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

25x ते -25x जोडा. 25x आणि -25x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$25y-35y=12500-1450$$

25y ते -35y जोडा.

$$-10y=12500-1450$$

12500 ते -1450 जोडा.

$$-10y=11050$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=-1105$$

25x+35y=1450 मध्ये y साठी -1105 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

-1105 ला 35 वेळा गुणाकार करा.

$$25x-38675=1450$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 38675 जोडा.

$$25x=40125$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$x=1605$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1605,y=-1105$$