{l}{x+y=40}{30x+25y=1125} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { 30 x + 25 y = 1125 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=25$$

$$y=15$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=40,30x+25y=1125$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+40$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+40 चा विकल्प वापरा, 30x+25y=1125.

$$30\left(-y+40\right)+25y=1125$$

-y+40 ला 30 वेळा गुणाकार करा.

$$-30y+1200+25y=1125$$

-30y ते 25y जोडा.

$$-5y+1200=1125$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1200 वजा करा.

$$-5y=-75$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=15$$

x=-y+40 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-15+40$$

40 ते -15 जोडा.

$$x=25$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=25,y=15$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=40,30x+25y=1125$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\30&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\1125\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\30&25\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\30&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\30&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\30&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\1125\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\30&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\1125\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\30&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\1125\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-30}&-\frac{1}{25-30}\\-\frac{30}{25-30}&\frac{1}{25-30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\1125\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&\frac{1}{5}\\6&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\1125\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 40+\frac{1}{5}\times 1125\\6\times 40-\frac{1}{5}\times 1125\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=25,y=15$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=40,30x+25y=1125$$

x आणि 30x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 30 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$30x+30y=30\times 40,30x+25y=1125$$

सरलीकृत करा.

$$30x+30y=1200,30x+25y=1125$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 30x+30y=1200 मधून 30x+25y=1125 वजा करा.

$$30x-30x+30y-25y=1200-1125$$

30x ते -30x जोडा. 30x आणि -30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$30y-25y=1200-1125$$

30y ते -25y जोडा.

$$5y=1200-1125$$

1200 ते -1125 जोडा.

$$5y=75$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=15$$

30x+25y=1125 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$30x+25\times 15=1125$$

15 ला 25 वेळा गुणाकार करा.

$$30x+375=1125$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 375 वजा करा.

$$30x=750$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$x=25$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=25,y=15$$