{l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=80$$

$$y=160$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=240$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+240$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+240 चा विकल्प वापरा, 0.12x+0.06y=19.2.

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

-y+240 ला 0.12 वेळा गुणाकार करा.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

-\frac{3y}{25} ते \frac{3y}{50} जोडा.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28.8 वजा करा.

$$-0.06y=-9.6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -0.06 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=160$$

x=-y+240 मध्ये y साठी 160 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-160+240$$

240 ते -160 जोडा.

$$x=80$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=80,y=160$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=80,y=160$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

x आणि \frac{3x}{25} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

सरलीकृत करा.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.12x+0.12y=28.8 मधून 0.12x+0.06y=19.2 वजा करा.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

\frac{3x}{25} ते -\frac{3x}{25} जोडा. \frac{3x}{25} आणि -\frac{3x}{25} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

\frac{3y}{25} ते -\frac{3y}{50} जोडा.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 28.8 ते -19.2 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$0.06y=9.6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.06 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=160$$

0.12x+0.06y=19.2 मध्ये y साठी 160 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

160 ला 0.06 वेळा गुणाकार करा.

$$0.12x+9.6=19.2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9.6 वजा करा.

$$0.12x=9.6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.12 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=80$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=80,y=160$$