{l}{x+y=200}{x+1/2y=160} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } y = 160 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=120$$

$$y=80$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+200$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+200 चा विकल्प वापरा, x+\frac{1}{2}y=160.

$$-y+200+\frac{1}{2}y=160$$

-y ते \frac{y}{2} जोडा.

$$-\frac{1}{2}y+200=160$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 200 वजा करा.

$$-\frac{1}{2}y=-40$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने गुणाकार करा.

$$y=80$$

x=-y+200 मध्ये y साठी 80 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-80+200$$

200 ते -80 जोडा.

$$x=120$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=120,y=80$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-200+2\times 160\\2\times 200-2\times 160\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\80\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=120,y=80$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+y=200 मधून x+\frac{1}{2}y=160 वजा करा.

$$x-x+y-\frac{1}{2}y=200-160$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y-\frac{1}{2}y=200-160$$

y ते -\frac{y}{2} जोडा.

$$\frac{1}{2}y=200-160$$

200 ते -160 जोडा.

$$\frac{1}{2}y=40$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$y=80$$

x+\frac{1}{2}y=160 मध्ये y साठी 80 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+\frac{1}{2}\times 80=160$$

80 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x+40=160$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 40 वजा करा.

$$x=120$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=120,y=80$$