{l}{x+y=2}{x+1/2=y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2} वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+2 चा विकल्प वापरा, x-y=-\frac{1}{2}.

$$-y+2-y=-\frac{1}{2}$$

-y ते -y जोडा.

$$-2y+2=-\frac{1}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$-2y=-\frac{5}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=\frac{5}{4}$$

x=-y+2 मध्ये y साठी \frac{5}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{4}+2$$

2 ते -\frac{5}{4} जोडा.

$$x=\frac{3}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2} वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2} वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+y=2 मधून x-y=-\frac{1}{2} वजा करा.

$$x-x+y+y=2+\frac{1}{2}$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y+y=2+\frac{1}{2}$$

y ते y जोडा.

$$2y=2+\frac{1}{2}$$

2 ते \frac{1}{2} जोडा.

$$2y=\frac{5}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{5}{4}$$

x-y=-\frac{1}{2} मध्ये y साठी \frac{5}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{4} जोडा.

$$x=\frac{3}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$