{l}{x+y=170}{4x+y=60} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 170 } \\ { 4 x + y = 60 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{110}{3} = -36\frac{2}{3} \approx -36.666666667$$

$$y = \frac{620}{3} = 206\frac{2}{3} \approx 206.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=170,4x+y=60$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=170$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+170$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+170 चा विकल्प वापरा, 4x+y=60.

$$4\left(-y+170\right)+y=60$$

-y+170 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y+680+y=60$$

-4y ते y जोडा.

$$-3y+680=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 680 वजा करा.

$$-3y=-620$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=\frac{620}{3}$$

x=-y+170 मध्ये y साठी \frac{620}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{620}{3}+170$$

170 ते -\frac{620}{3} जोडा.

$$x=-\frac{110}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{110}{3},y=\frac{620}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=170,4x+y=60$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{1}{1-4}\\-\frac{4}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 170+\frac{1}{3}\times 60\\\frac{4}{3}\times 170-\frac{1}{3}\times 60\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{110}{3}\\\frac{620}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{110}{3},y=\frac{620}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=170,4x+y=60$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+y=170 मधून 4x+y=60 वजा करा.

$$x-4x+y-y=170-60$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x-4x=170-60$$

x ते -4x जोडा.

$$-3x=170-60$$

170 ते -60 जोडा.

$$-3x=110$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-\frac{110}{3}$$

4x+y=60 मध्ये x साठी -\frac{110}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$4\left(-\frac{110}{3}\right)+y=60$$

-\frac{110}{3} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{440}{3}+y=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{440}{3} जोडा.

$$y=\frac{620}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{110}{3},y=\frac{620}{3}$$