{l}{x+y=144}{10x+8y=1192} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 144 } \\ { 10 x + 8 y = 1192 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=20$$

$$y=124$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=144$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+144$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+144 चा विकल्प वापरा, 10x+8y=1192.

$$10\left(-y+144\right)+8y=1192$$

-y+144 ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$-10y+1440+8y=1192$$

-10y ते 8y जोडा.

$$-2y+1440=1192$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1440 वजा करा.

$$-2y=-248$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=124$$

x=-y+144 मध्ये y साठी 124 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-124+144$$

144 ते -124 जोडा.

$$x=20$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=20,y=124$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-10}&-\frac{1}{8-10}\\-\frac{10}{8-10}&\frac{1}{8-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{1}{2}\\5&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 144+\frac{1}{2}\times 1192\\5\times 144-\frac{1}{2}\times 1192\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\124\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=20,y=124$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

x आणि 10x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$10x+10y=10\times 144,10x+8y=1192$$

सरलीकृत करा.

$$10x+10y=1440,10x+8y=1192$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+10y=1440 मधून 10x+8y=1192 वजा करा.

$$10x-10x+10y-8y=1440-1192$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10y-8y=1440-1192$$

10y ते -8y जोडा.

$$2y=1440-1192$$

1440 ते -1192 जोडा.

$$2y=248$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=124$$

10x+8y=1192 मध्ये y साठी 124 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$10x+8\times 124=1192$$

124 ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$10x+992=1192$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 992 वजा करा.

$$10x=200$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=20$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=20,y=124$$