{l}{x+6y=27}{7x-3y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+6y=27$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$x=-6y+27$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -6y+27 चा विकल्प वापरा, 7x-3y=9.

$$7\left(-6y+27\right)-3y=9$$

-6y+27 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-42y+189-3y=9$$

-42y ते -3y जोडा.

$$-45y+189=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 189 वजा करा.

$$-45y=-180$$

दोन्ही बाजूंना -45 ने विभागा.

$$y=4$$

x=-6y+27 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-6\times 4+27$$

4 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-24+27$$

27 ते -24 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-6\times 7}&-\frac{6}{-3-6\times 7}\\-\frac{7}{-3-6\times 7}&\frac{1}{-3-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\\\frac{7}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 27+\frac{2}{15}\times 9\\\frac{7}{45}\times 27-\frac{1}{45}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$7x+7\times 6y=7\times 27,7x-3y=9$$

सरलीकृत करा.

$$7x+42y=189,7x-3y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7x+42y=189 मधून 7x-3y=9 वजा करा.

$$7x-7x+42y+3y=189-9$$

7x ते -7x जोडा. 7x आणि -7x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$42y+3y=189-9$$

42y ते 3y जोडा.

$$45y=189-9$$

189 ते -9 जोडा.

$$45y=180$$

दोन्ही बाजूंना 45 ने विभागा.

$$y=4$$

7x-3y=9 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x-3\times 4=9$$

4 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$7x-12=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$7x=21$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=4$$