{l}{x+6x+y=32}{y+6x+y=31}{text{Hallar}}{x+y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 x + y = 32 } \\ { y + 6 x + y = 31 } \\ { \text { Hallar } } \\ { x + y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{33}{8} = 4\frac{1}{8} = 4.125$$

$$y = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} = 3.125$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 7x मिळविण्यासाठी x आणि 6x एकत्र करा.

$$7x+y=32$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2y मिळविण्यासाठी y आणि y एकत्र करा.

$$2y+6x=31$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+y=32,6x+2y=31$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+y=32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$7x=-y+32$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+32\right)$$

-y+32 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{32}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+32}{7} चा विकल्प वापरा, 6x+2y=31.

$$6\left(-\frac{1}{7}y+\frac{32}{7}\right)+2y=31$$

\frac{-y+32}{7} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{192}{7}+2y=31$$

-\frac{6y}{7} ते 2y जोडा.

$$\frac{8}{7}y+\frac{192}{7}=31$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{192}{7} वजा करा.

$$\frac{8}{7}y=\frac{25}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{8}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{25}{8}$$

x=-\frac{1}{7}y+\frac{32}{7} मध्ये y साठी \frac{25}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{7}\times \frac{25}{8}+\frac{32}{7}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{25}{8} चा -\frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{25}{56}+\frac{32}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{32}{7} ते -\frac{25}{56} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{33}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{33}{8},y=\frac{25}{8}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 7x मिळविण्यासाठी x आणि 6x एकत्र करा.

$$7x+y=32$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2y मिळविण्यासाठी y आणि y एकत्र करा.

$$2y+6x=31$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+y=32,6x+2y=31$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\31\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&1\\6&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\31\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\31\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-6}&-\frac{1}{7\times 2-6}\\-\frac{6}{7\times 2-6}&\frac{7}{7\times 2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\31\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{3}{4}&\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\31\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 32-\frac{1}{8}\times 31\\-\frac{3}{4}\times 32+\frac{7}{8}\times 31\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{8}\\\frac{25}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{33}{8},y=\frac{25}{8}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 7x मिळविण्यासाठी x आणि 6x एकत्र करा.

$$7x+y=32$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2y मिळविण्यासाठी y आणि y एकत्र करा.

$$2y+6x=31$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+y=32,6x+2y=31$$

7x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$6\times 7x+6y=6\times 32,7\times 6x+7\times 2y=7\times 31$$

सरलीकृत करा.

$$42x+6y=192,42x+14y=217$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 42x+6y=192 मधून 42x+14y=217 वजा करा.

$$42x-42x+6y-14y=192-217$$

42x ते -42x जोडा. 42x आणि -42x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-14y=192-217$$

6y ते -14y जोडा.

$$-8y=192-217$$

192 ते -217 जोडा.

$$-8y=-25$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=\frac{25}{8}$$

6x+2y=31 मध्ये y साठी \frac{25}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+2\times \frac{25}{8}=31$$

\frac{25}{8} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+\frac{25}{4}=31$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{25}{4} वजा करा.

$$6x=\frac{99}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{33}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{33}{8},y=\frac{25}{8}$$