{l}{x+5y=1}{3x+4y=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+5y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$x=-5y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -5y+1 चा विकल्प वापरा, 3x+4y=4.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

-5y+1 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-15y+3+4y=4$$

-15y ते 4y जोडा.

$$-11y+3=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-11y=1$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{11}$$

x=-5y+1 मध्ये y साठी -\frac{1}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

-\frac{1}{11} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

1 ते \frac{5}{11} जोडा.

$$x=\frac{16}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

सरलीकृत करा.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+15y=3 मधून 3x+4y=4 वजा करा.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y-4y=3-4$$

15y ते -4y जोडा.

$$11y=3-4$$

3 ते -4 जोडा.

$$11y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{11}$$

3x+4y=4 मध्ये y साठी -\frac{1}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

-\frac{1}{11} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{4}{11} जोडा.

$$3x=\frac{48}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{16}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$