{l}{x+4y=41}{4x+5y=65} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=9$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+4y=41$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$x=-4y+41$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -4y+41 चा विकल्प वापरा, 4x+5y=65.

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

-4y+41 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-16y+164+5y=65$$

-16y ते 5y जोडा.

$$-11y+164=65$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 164 वजा करा.

$$-11y=-99$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=9$$

x=-4y+41 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-4\times 9+41$$

9 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-36+41$$

41 ते -36 जोडा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=9$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

सरलीकृत करा.

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+16y=164 मधून 4x+5y=65 वजा करा.

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$16y-5y=164-65$$

16y ते -5y जोडा.

$$11y=164-65$$

164 ते -65 जोडा.

$$11y=99$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=9$$

4x+5y=65 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+5\times 9=65$$

9 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+45=65$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 45 वजा करा.

$$4x=20$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=9$$