{l}{x+3y=7}{3x+y=17} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+3y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$x=-3y+7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -3y+7 चा विकल्प वापरा, 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

-3y+7 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-9y+21+y=17$$

-9y ते y जोडा.

$$-8y+21=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 21 वजा करा.

$$-8y=-4$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-3y+7 मध्ये y साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

\frac{1}{2} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

7 ते -\frac{3}{2} जोडा.

$$x=\frac{11}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

सरलीकृत करा.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+9y=21 मधून 3x+y=17 वजा करा.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y-y=21-17$$

9y ते -y जोडा.

$$8y=21-17$$

21 ते -17 जोडा.

$$8y=4$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}$$

3x+y=17 मध्ये y साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{2} वजा करा.

$$3x=\frac{33}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{11}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$