{l}{x+2y=8}{x-3y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} = 8.4$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y+8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+8 चा विकल्प वापरा, x-3y=9.

$$-2y+8-3y=9$$

-2y ते -3y जोडा.

$$-5y+8=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-5y=1$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{5}$$

x=-2y+8 मध्ये y साठी -\frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\left(-\frac{1}{5}\right)+8$$

-\frac{1}{5} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{5}+8$$

8 ते \frac{2}{5} जोडा.

$$x=\frac{42}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 9\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+2y=8 मधून x-3y=9 वजा करा.

$$x-x+2y+3y=8-9$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y+3y=8-9$$

2y ते 3y जोडा.

$$5y=8-9$$

8 ते -9 जोडा.

$$5y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{5}$$

x-3y=9 मध्ये y साठी -\frac{1}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-3\left(-\frac{1}{5}\right)=9$$

-\frac{1}{5} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x+\frac{3}{5}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{5} वजा करा.

$$x=\frac{42}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$