{l}{x+2y=5}{x-y=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 5 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=5,x-y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y+5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+5 चा विकल्प वापरा, x-y=4.

$$-2y+5-y=4$$

-2y ते -y जोडा.

$$-3y+5=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$-3y=-1$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}$$

x=-2y+5 मध्ये y साठी \frac{1}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times \frac{1}{3}+5$$

\frac{1}{3} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}+5$$

5 ते -\frac{2}{3} जोडा.

$$x=\frac{13}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=5,x-y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=5,x-y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+2y=5 मधून x-y=4 वजा करा.

$$x-x+2y+y=5-4$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y+y=5-4$$

2y ते y जोडा.

$$3y=5-4$$

5 ते -4 जोडा.

$$3y=1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}$$

x-y=4 मध्ये y साठी \frac{1}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-\frac{1}{3}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{3} जोडा.

$$x=\frac{13}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$