{l}{x+2y=16}{2x+3y=17} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 16 } \\ { 2 x + 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-14$$

$$y=15$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y+16$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+16 चा विकल्प वापरा, 2x+3y=17.

$$2\left(-2y+16\right)+3y=17$$

-2y+16 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y+32+3y=17$$

-4y ते 3y जोडा.

$$-y+32=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 32 वजा करा.

$$-y=-15$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=15$$

x=-2y+16 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times 15+16$$

15 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-30+16$$

16 ते -30 जोडा.

$$x=-14$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-14,y=15$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 16+2\times 17\\2\times 16-17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-14,y=15$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2x+2\times 2y=2\times 16,2x+3y=17$$

सरलीकृत करा.

$$2x+4y=32,2x+3y=17$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+4y=32 मधून 2x+3y=17 वजा करा.

$$2x-2x+4y-3y=32-17$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-3y=32-17$$

4y ते -3y जोडा.

$$y=32-17$$

32 ते -17 जोडा.

$$y=15$$

2x+3y=17 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\times 15=17$$

15 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+45=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 45 वजा करा.

$$2x=-28$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-14$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-14,y=15$$