{l}{x+2y=10}{3y-2x=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y+10$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+10 चा विकल्प वापरा, -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

-2y+10 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$4y-20+3y=5$$

4y ते 3y जोडा.

$$7y-20=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 20 जोडा.

$$7y=25$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=\frac{25}{7}$$

x=-2y+10 मध्ये y साठी \frac{25}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

\frac{25}{7} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

10 ते -\frac{50}{7} जोडा.

$$x=\frac{20}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

सरलीकृत करा.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2x-4y=-20 मधून -2x+3y=5 वजा करा.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

-2x ते 2x जोडा. -2x आणि 2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4y-3y=-20-5$$

-4y ते -3y जोडा.

$$-7y=-20-5$$

-20 ते -5 जोडा.

$$-7y=-25$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=\frac{25}{7}$$

-2x+3y=5 मध्ये y साठी \frac{25}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

\frac{25}{7} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{75}{7} वजा करा.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=\frac{20}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$