{l}{x+2y=1}{3x+y=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+1 चा विकल्प वापरा, 3x+y=0.

$$3\left(-2y+1\right)+y=0$$

-2y+1 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-6y+3+y=0$$

-6y ते y जोडा.

$$-5y+3=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-5y=-3$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=\frac{3}{5}$$

x=-2y+1 मध्ये y साठी \frac{3}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times \frac{3}{5}+1$$

\frac{3}{5} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{6}{5}+1$$

1 ते -\frac{6}{5} जोडा.

$$x=-\frac{1}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 3}&-\frac{2}{1-2\times 3}\\-\frac{3}{1-2\times 3}&\frac{1}{1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=1,3x+y=0$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\times 2y=3,3x+y=0$$

सरलीकृत करा.

$$3x+6y=3,3x+y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+6y=3 मधून 3x+y=0 वजा करा.

$$3x-3x+6y-y=3$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-y=3$$

6y ते -y जोडा.

$$5y=3$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{3}{5}$$

3x+y=0 मध्ये y साठी \frac{3}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+\frac{3}{5}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{5} वजा करा.

$$3x=-\frac{3}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{3}{5}$$