{l}{t+2s=-1}{s=t+10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

t, s साठी सोडवा

$$t=-7$$

$$s=3$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून t वजा करा.

$$s-t=10$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला t विलग करून, t साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$t+2s=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2s वजा करा.

$$t=-2s-1$$

इतर समीकरणामध्ये t साठी -2s-1 चा विकल्प वापरा, -t+s=10.

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

-2s-1 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$2s+1+s=10$$

2s ते s जोडा.

$$3s+1=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$3s=9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$s=3$$

t=-2s-1 मध्ये s साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण t साठी थेट सोडवू शकता.

$$t=-2\times 3-1$$

3 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$t=-6-1$$

-1 ते -6 जोडा.

$$t=-7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$t=-7,s=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून t वजा करा.

$$s-t=10$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे t आणि s घटक बाहेर काढा.

$$t=-7,s=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून t वजा करा.

$$s-t=10$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

t आणि -t समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

सरलीकृत करा.

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -t-2s=1 मधून -t+s=10 वजा करा.

$$-t+t-2s-s=1-10$$

-t ते t जोडा. -t आणि t रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2s-s=1-10$$

-2s ते -s जोडा.

$$-3s=1-10$$

1 ते -10 जोडा.

$$-3s=-9$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$s=3$$

-t+s=10 मध्ये s साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण t साठी थेट सोडवू शकता.

$$-t+3=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-t=7$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$t=-7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$t=-7,s=3$$