{l}{p+b=130}{p+1.09b=136.75} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { p + b = 130 } \\ { p + 1.09 b = 136.75 } \end{array} \right.$$

p, b साठी सोडवा

$$p=55$$

$$b=75$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला p विलग करून, p साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$p+b=130$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून b वजा करा.

$$p=-b+130$$

इतर समीकरणामध्ये p साठी -b+130 चा विकल्प वापरा, p+1.09b=136.75.

$$-b+130+1.09b=136.75$$

-b ते \frac{109b}{100} जोडा.

$$0.09b+130=136.75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 130 वजा करा.

$$0.09b=6.75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.09 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=75$$

p=-b+130 मध्ये b साठी 75 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण p साठी थेट सोडवू शकता.

$$p=-75+130$$

130 ते -75 जोडा.

$$p=55$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$p=55,b=75$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.09}{1.09-1}&-\frac{1}{1.09-1}\\-\frac{1}{1.09-1}&\frac{1}{1.09-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}&-\frac{100}{9}\\-\frac{100}{9}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}\times 130-\frac{100}{9}\times 136.75\\-\frac{100}{9}\times 130+\frac{100}{9}\times 136.75\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे p आणि b घटक बाहेर काढा.

$$p=55,b=75$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून p+b=130 मधून p+1.09b=136.75 वजा करा.

$$p-p+b-1.09b=130-136.75$$

p ते -p जोडा. p आणि -p रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$b-1.09b=130-136.75$$

b ते -\frac{109b}{100} जोडा.

$$-0.09b=130-136.75$$

130 ते -136.75 जोडा.

$$-0.09b=-6.75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -0.09 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=75$$

p+1.09b=136.75 मध्ये b साठी 75 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण p साठी थेट सोडवू शकता.

$$p+1.09\times 75=136.75$$

75 ला 1.09 वेळा गुणाकार करा.

$$p+81.75=136.75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 81.75 वजा करा.

$$p=55$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$p=55,b=75$$