{l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस ny जोडा.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

दोन्ही बाजूंना m ने विभागा.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

ny+m^{2}+n^{2} ला \frac{1}{m} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} चा विकल्प वापरा, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

\frac{ny}{m} ते y जोडा.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून m+\frac{n^{2}}{m} वजा करा.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

दोन्ही बाजूंना \frac{m+n}{m} ने विभागा.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m मध्ये y साठी m-n विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m-n ला \frac{n}{m} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m+\frac{n^{2}}{m} ते \frac{n\left(m-n\right)}{m} जोडा.

$$x=m+n$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=m+n,y=m-n$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=m+n,y=m-n$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना m ने गुणाकार करा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

सरलीकृत करा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} मधून mx+my=2m^{2} वजा करा.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

mx ते -mx जोडा. mx आणि -mx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-ny ते -my जोडा.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

m^{2}+n^{2} ते -2m^{2} जोडा.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

दोन्ही बाजूंना -m-n ने विभागा.

$$y=m-n$$

x+y=2m मध्ये y साठी m-n विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+m-n=2m$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून m-n वजा करा.

$$x=m+n$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=m+n,y=m-n$$

x, y साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस ny जोडा.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

दोन्ही बाजूंना m ने विभागा.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

ny+m^{2}+n^{2} ला \frac{1}{m} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} चा विकल्प वापरा, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

\frac{ny}{m} ते y जोडा.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून m+\frac{n^{2}}{m} वजा करा.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

दोन्ही बाजूंना \frac{m+n}{m} ने विभागा.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m मध्ये y साठी m-n विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m-n ला \frac{n}{m} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m+\frac{n^{2}}{m} ते \frac{n\left(m-n\right)}{m} जोडा.

$$x=m+n$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=m+n,y=m-n$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=m+n,y=m-n$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना m ने गुणाकार करा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

सरलीकृत करा.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} मधून mx+my=2m^{2} वजा करा.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

mx ते -mx जोडा. mx आणि -mx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-ny ते -my जोडा.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

m^{2}+n^{2} ते -2m^{2} जोडा.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

दोन्ही बाजूंना -m-n ने विभागा.

$$y=m-n$$

x+y=2m मध्ये y साठी m-n विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+m-n=2m$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून m-n वजा करा.

$$x=m+n$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=m+n,y=m-n$$