{l}{m+2n=5}{n-2m+2=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

m, n साठी सोडवा

$$m=-1$$

$$n=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला m विलग करून, m साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$m+2n=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2n वजा करा.

$$m=-2n+5$$

इतर समीकरणामध्ये m साठी -2n+5 चा विकल्प वापरा, -2m+n+2=7.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

-2n+5 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$4n-10+n+2=7$$

4n ते n जोडा.

$$5n-10+2=7$$

-10 ते 2 जोडा.

$$5n-8=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$5n=15$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$n=3$$

m=-2n+5 मध्ये n साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m=-2\times 3+5$$

3 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$m=-6+5$$

5 ते -6 जोडा.

$$m=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=-1,n=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे m आणि n घटक बाहेर काढा.

$$m=-1,n=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

m आणि -2m समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

सरलीकृत करा.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2m-4n=-10 मधून -2m+n+2=7 वजा करा.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

-2m ते 2m जोडा. -2m आणि 2m रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4n-n-2=-10-7$$

-4n ते -n जोडा.

$$-5n-2=-10-7$$

-10 ते -7 जोडा.

$$-5n-2=-17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$-5n=-15$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$n=3$$

-2m+n+2=7 मध्ये n साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2m+3+2=7$$

3 ते 2 जोडा.

$$-2m+5=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$-2m=2$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$m=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=-1,n=3$$