{l}{kx+6y=12}{0.75x+1.25y=b} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { k x + 6 y = 12 } \\ { 0.75 x + 1.25 y = b } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{12\left(5-2b\right)}{18-5k}\text{, }y=-\frac{4\left(bk-9\right)}{18-5k}\text{, }&k\neq \frac{18}{5}\\x=\frac{5\left(2-y\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=\frac{5}{2}\text{ and }k=\frac{18}{5}\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$kx+6y=12,0.75x+1.25y=b$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$kx+6y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$kx=-6y+12$$

दोन्ही बाजूंना k ने विभागा.

$$x=\frac{1}{k}\left(-6y+12\right)$$

-6y+12 ला \frac{1}{k} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{6}{k}\right)y+\frac{12}{k}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{6\left(2-y\right)}{k} चा विकल्प वापरा, 0.75x+1.25y=b.

$$0.75\left(\left(-\frac{6}{k}\right)y+\frac{12}{k}\right)+1.25y=b$$

\frac{6\left(2-y\right)}{k} ला 0.75 वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{9}{2k}\right)y+\frac{9}{k}+1.25y=b$$

-\frac{9y}{2k} ते \frac{5y}{4} जोडा.

$$\left(\frac{5}{4}-\frac{9}{2k}\right)y+\frac{9}{k}=b$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{k} वजा करा.

$$\left(\frac{5}{4}-\frac{9}{2k}\right)y=b-\frac{9}{k}$$

दोन्ही बाजूंना -\frac{9}{2k}+\frac{5}{4} ने विभागा.

$$y=\frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}$$

x=\left(-\frac{6}{k}\right)y+\frac{12}{k} मध्ये y साठी \frac{4\left(bk-9\right)}{-18+5k} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{6}{k}\right)\times \frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}+\frac{12}{k}$$

\frac{4\left(bk-9\right)}{-18+5k} ला -\frac{6}{k} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{24\left(bk-9\right)}{k\left(5k-18\right)}+\frac{12}{k}$$

\frac{12}{k} ते -\frac{24\left(bk-9\right)}{k\left(-18+5k\right)} जोडा.

$$x=\frac{12\left(5-2b\right)}{5k-18}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12\left(5-2b\right)}{5k-18},y=\frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$kx+6y=12,0.75x+1.25y=b$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.25}{k\times 1.25-6\times 0.75}&-\frac{6}{k\times 1.25-6\times 0.75}\\-\frac{0.75}{k\times 1.25-6\times 0.75}&\frac{k}{k\times 1.25-6\times 0.75}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\left(\frac{5k}{4}-4.5\right)}&-\frac{6}{\frac{5k}{4}-4.5}\\-\frac{3}{4\left(\frac{5k}{4}-4.5\right)}&\frac{k}{\frac{5k}{4}-4.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\left(\frac{5k}{4}-4.5\right)}\times 12+\left(-\frac{6}{\frac{5k}{4}-4.5}\right)b\\\left(-\frac{3}{4\left(\frac{5k}{4}-4.5\right)}\right)\times 12+\frac{k}{\frac{5k}{4}-4.5}b\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8\left(37.5-15b\right)}{5\left(5k-18\right)}\\\frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{8\left(37.5-15b\right)}{5\left(5k-18\right)},y=\frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$kx+6y=12,0.75x+1.25y=b$$

kx आणि \frac{3x}{4} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.75 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना k ने गुणाकार करा.

$$0.75kx+0.75\times 6y=0.75\times 12,k\times 0.75x+k\times 1.25y=kb$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{3k}{4}x+4.5y=9,\frac{3k}{4}x+\frac{5k}{4}y=bk$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{3k}{4}x+4.5y=9 मधून \frac{3k}{4}x+\frac{5k}{4}y=bk वजा करा.

$$\frac{3k}{4}x+\left(-\frac{3k}{4}\right)x+4.5y+\left(-\frac{5k}{4}\right)y=9-bk$$

\frac{3kx}{4} ते -\frac{3kx}{4} जोडा. \frac{3kx}{4} आणि -\frac{3kx}{4} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4.5y+\left(-\frac{5k}{4}\right)y=9-bk$$

\frac{9y}{2} ते -\frac{5ky}{4} जोडा.

$$\left(-\frac{5k}{4}+\frac{9}{2}\right)y=9-bk$$

दोन्ही बाजूंना \frac{9}{2}-\frac{5k}{4} ने विभागा.

$$y=\frac{9-bk}{-\frac{5k}{4}+4.5}$$

0.75x+1.25y=b मध्ये y साठी \frac{9-kb}{4.5-\frac{5k}{4}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.75x+1.25\times \frac{9-bk}{-\frac{5k}{4}+4.5}=b$$

\frac{9-kb}{4.5-\frac{5k}{4}} ला 1.25 वेळा गुणाकार करा.

$$0.75x+\frac{5\left(9-bk\right)}{18-5k}=b$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5\left(9-kb\right)}{18-5k} वजा करा.

$$0.75x=\frac{9\left(2b-5\right)}{18-5k}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.75 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{12\left(2b-5\right)}{18-5k}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12\left(2b-5\right)}{18-5k},y=\frac{9-bk}{-\frac{5k}{4}+4.5}$$

x, y साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{12\left(5-2b\right)}{18-5k}\text{, }y=-\frac{4\left(bk-9\right)}{18-5k}\text{, }&k\neq \frac{18}{5}\\x=\frac{5\left(2-y\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=\frac{5}{2}\text{ and }k=\frac{18}{5}\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$kx+6y=12,0.75x+1.25y=b$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$kx+6y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$kx=-6y+12$$

दोन्ही बाजूंना k ने विभागा.

$$x=\frac{1}{k}\left(-6y+12\right)$$

-6y+12 ला \frac{1}{k} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{6}{k}\right)y+\frac{12}{k}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{6\left(2-y\right)}{k} चा विकल्प वापरा, 0.75x+1.25y=b.

$$0.75\left(\left(-\frac{6}{k}\right)y+\frac{12}{k}\right)+1.25y=b$$

\frac{6\left(2-y\right)}{k} ला 0.75 वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{9}{2k}\right)y+\frac{9}{k}+1.25y=b$$

-\frac{9y}{2k} ते \frac{5y}{4} जोडा.

$$\left(\frac{5}{4}-\frac{9}{2k}\right)y+\frac{9}{k}=b$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{k} वजा करा.

$$\left(\frac{5}{4}-\frac{9}{2k}\right)y=b-\frac{9}{k}$$

दोन्ही बाजूंना -\frac{9}{2k}+\frac{5}{4} ने विभागा.

$$y=\frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}$$

x=\left(-\frac{6}{k}\right)y+\frac{12}{k} मध्ये y साठी \frac{4\left(bk-9\right)}{-18+5k} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{6}{k}\right)\times \frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}+\frac{12}{k}$$

\frac{4\left(bk-9\right)}{-18+5k} ला -\frac{6}{k} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{24\left(bk-9\right)}{k\left(5k-18\right)}+\frac{12}{k}$$

\frac{12}{k} ते -\frac{24\left(bk-9\right)}{k\left(-18+5k\right)} जोडा.

$$x=\frac{12\left(5-2b\right)}{5k-18}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12\left(5-2b\right)}{5k-18},y=\frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$kx+6y=12,0.75x+1.25y=b$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}k&6\\0.75&1.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.25}{k\times 1.25-6\times 0.75}&-\frac{6}{k\times 1.25-6\times 0.75}\\-\frac{0.75}{k\times 1.25-6\times 0.75}&\frac{k}{k\times 1.25-6\times 0.75}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\left(\frac{5k}{4}-4.5\right)}&-\frac{6}{\frac{5k}{4}-4.5}\\-\frac{3}{4\left(\frac{5k}{4}-4.5\right)}&\frac{k}{\frac{5k}{4}-4.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\left(\frac{5k}{4}-4.5\right)}\times 12+\left(-\frac{6}{\frac{5k}{4}-4.5}\right)b\\\left(-\frac{3}{4\left(\frac{5k}{4}-4.5\right)}\right)\times 12+\frac{k}{\frac{5k}{4}-4.5}b\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8\left(37.5-15b\right)}{5\left(5k-18\right)}\\\frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{8\left(37.5-15b\right)}{5\left(5k-18\right)},y=\frac{4\left(bk-9\right)}{5k-18}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$kx+6y=12,0.75x+1.25y=b$$

kx आणि \frac{3x}{4} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.75 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना k ने गुणाकार करा.

$$0.75kx+0.75\times 6y=0.75\times 12,k\times 0.75x+k\times 1.25y=kb$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{3k}{4}x+4.5y=9,\frac{3k}{4}x+\frac{5k}{4}y=bk$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{3k}{4}x+4.5y=9 मधून \frac{3k}{4}x+\frac{5k}{4}y=bk वजा करा.

$$\frac{3k}{4}x+\left(-\frac{3k}{4}\right)x+4.5y+\left(-\frac{5k}{4}\right)y=9-bk$$

\frac{3kx}{4} ते -\frac{3kx}{4} जोडा. \frac{3kx}{4} आणि -\frac{3kx}{4} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4.5y+\left(-\frac{5k}{4}\right)y=9-bk$$

\frac{9y}{2} ते -\frac{5ky}{4} जोडा.

$$\left(-\frac{5k}{4}+\frac{9}{2}\right)y=9-bk$$

दोन्ही बाजूंना \frac{9}{2}-\frac{5k}{4} ने विभागा.

$$y=\frac{9-bk}{-\frac{5k}{4}+4.5}$$

0.75x+1.25y=b मध्ये y साठी \frac{9-kb}{4.5-\frac{5k}{4}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.75x+1.25\times \frac{9-bk}{-\frac{5k}{4}+4.5}=b$$

\frac{9-kb}{4.5-\frac{5k}{4}} ला 1.25 वेळा गुणाकार करा.

$$0.75x+\frac{5\left(9-bk\right)}{18-5k}=b$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5\left(9-kb\right)}{18-5k} वजा करा.

$$0.75x=\frac{9\left(2b-5\right)}{18-5k}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.75 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{12\left(2b-5\right)}{18-5k}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12\left(2b-5\right)}{18-5k},y=\frac{9-bk}{-\frac{5k}{4}+4.5}$$