{l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$fx-y=7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$fy-9x=8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$fx-y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$fx=y+7$$

दोन्ही बाजूंना f ने विभागा.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

y+7 ला \frac{1}{f} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7+y}{f} चा विकल्प वापरा, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

\frac{7+y}{f} ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

-\frac{9y}{f} ते fy जोडा.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{63}{f} जोडा.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

दोन्ही बाजूंना f-\frac{9}{f} ने विभागा.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} मध्ये y साठी \frac{63+8f}{f^{2}-9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f^{2}-9} ला \frac{1}{f} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{7}{f} ते \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} जोडा.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$fx-y=7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$fy-9x=8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$fx-y=7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$fy-9x=8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx आणि -9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना f ने गुणाकार करा.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \left(-9f\right)x+9y=-63 मधून \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f वजा करा.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-9fx ते 9fx जोडा. -9fx आणि 9fx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9y ते -f^{2}y जोडा.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-63 ते -8f जोडा.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

दोन्ही बाजूंना -f^{2}+9 ने विभागा.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 मध्ये y साठी -\frac{63+8f}{9-f^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

-\frac{63+8f}{9-f^{2}} ला f वेळा गुणाकार करा.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} जोडा.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$fx-y=7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$fy-9x=8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$fx-y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$fx=y+7$$

दोन्ही बाजूंना f ने विभागा.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

y+7 ला \frac{1}{f} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7+y}{f} चा विकल्प वापरा, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

\frac{7+y}{f} ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

-\frac{9y}{f} ते fy जोडा.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{63}{f} जोडा.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

दोन्ही बाजूंना f-\frac{9}{f} ने विभागा.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} मध्ये y साठी \frac{63+8f}{f^{2}-9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{63+8f}{f^{2}-9} ला \frac{1}{f} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{7}{f} ते \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} जोडा.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$fx-y=7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$fy-9x=8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$fx-y=7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$fy-9x=8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx आणि -9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना f ने गुणाकार करा.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \left(-9f\right)x+9y=-63 मधून \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f वजा करा.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-9fx ते 9fx जोडा. -9fx आणि 9fx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9y ते -f^{2}y जोडा.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-63 ते -8f जोडा.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

दोन्ही बाजूंना -f^{2}+9 ने विभागा.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 मध्ये y साठी -\frac{63+8f}{9-f^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

-\frac{63+8f}{9-f^{2}} ला f वेळा गुणाकार करा.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} जोडा.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$