{l}{a+4d=21}{-2a+6d=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { a + 4 d = 21 } \\ { - 2 a + 6 d = 0 } \end{array} \right.$$

a, d साठी सोडवा

$$a=9$$

$$d=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$a+4d=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4d वजा करा.

$$a=-4d+21$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी -4d+21 चा विकल्प वापरा, -2a+6d=0.

$$-2\left(-4d+21\right)+6d=0$$

-4d+21 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$8d-42+6d=0$$

8d ते 6d जोडा.

$$14d-42=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 42 जोडा.

$$14d=42$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$d=3$$

a=-4d+21 मध्ये d साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-4\times 3+21$$

3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$a=-12+21$$

21 ते -12 जोडा.

$$a=9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=9,d=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{6-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{6-4\left(-2\right)}&\frac{1}{6-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 21\\\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि d घटक बाहेर काढा.

$$a=9,d=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

a आणि -2a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-2a-2\times 4d=-2\times 21,-2a+6d=0$$

सरलीकृत करा.

$$-2a-8d=-42,-2a+6d=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2a-8d=-42 मधून -2a+6d=0 वजा करा.

$$-2a+2a-8d-6d=-42$$

-2a ते 2a जोडा. -2a आणि 2a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8d-6d=-42$$

-8d ते -6d जोडा.

$$-14d=-42$$

दोन्ही बाजूंना -14 ने विभागा.

$$d=3$$

-2a+6d=0 मध्ये d साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2a+6\times 3=0$$

3 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-2a+18=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$-2a=-18$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$a=9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=9,d=3$$