{l}{a+2b=3}{a-b=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { a + 2 b = 3 } \\ { a - b = 10 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3} \approx 7.666666667$$

$$b = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$a+2b=3,a-b=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$a+2b=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2b वजा करा.

$$a=-2b+3$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी -2b+3 चा विकल्प वापरा, a-b=10.

$$-2b+3-b=10$$

-2b ते -b जोडा.

$$-3b+3=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-3b=7$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$b=-\frac{7}{3}$$

a=-2b+3 मध्ये b साठी -\frac{7}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-2\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

-\frac{7}{3} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$a=\frac{14}{3}+3$$

3 ते \frac{14}{3} जोडा.

$$a=\frac{23}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{23}{3},b=-\frac{7}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$a+2b=3,a-b=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=\frac{23}{3},b=-\frac{7}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$a+2b=3,a-b=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून a+2b=3 मधून a-b=10 वजा करा.

$$a-a+2b+b=3-10$$

a ते -a जोडा. a आणि -a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2b+b=3-10$$

2b ते b जोडा.

$$3b=3-10$$

3 ते -10 जोडा.

$$3b=-7$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$b=-\frac{7}{3}$$

a-b=10 मध्ये b साठी -\frac{7}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a-\left(-\frac{7}{3}\right)=10$$

-\frac{7}{3} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$a+\frac{7}{3}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{3} वजा करा.

$$a=\frac{23}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{23}{3},b=-\frac{7}{3}$$