{l}{I(x-8):3=y-8}{pix+2=(y+2)*1/2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { I ( x - 8 ) : 3 = y - 8 } \\ { \pi x + 2 = ( y + 2 ) \cdot \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{2\left(4I-9\right)}{6\pi -I}$$

$$y=\frac{2\left(24\pi -I-8\pi I\right)}{6\pi -I}$$

$$I\neq 6\pi$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$I\left(x-8\right)=3y-24$$

I ला x-8 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$Ix-8I=3y-24$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$Ix-8I-3y=-24$$

दोन्ही बाजूंना 8I जोडा.

$$Ix-3y=-24+8I$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. y+2 ला \frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\pi x+2=\frac{1}{2}y+1$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}y वजा करा.

$$\pi x+2-\frac{1}{2}y=1$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$\pi x-\frac{1}{2}y=1-2$$

-1 मिळविण्यासाठी 1 मधून 2 वजा करा.

$$\pi x-\frac{1}{2}y=-1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$Ix-3y=8I-24,\pi x-\frac{1}{2}y=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$Ix-3y=8I-24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$Ix=3y+8I-24$$

दोन्ही बाजूंना I ने विभागा.

$$x=\frac{1}{I}\left(3y+8I-24\right)$$

3y-24+8I ला \frac{1}{I} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{I}y+8-\frac{24}{I}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y-24+8I}{I} चा विकल्प वापरा, \pi x-\frac{1}{2}y=-1.

$$\pi \left(\frac{3}{I}y+8-\frac{24}{I}\right)-\frac{1}{2}y=-1$$

\frac{3y-24+8I}{I} ला \pi वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3\pi }{I}y+\frac{8\pi \left(I-3\right)}{I}-\frac{1}{2}y=-1$$

\frac{3\pi y}{I} ते -\frac{y}{2} जोडा.

$$\left(-\frac{1}{2}+\frac{3\pi }{I}\right)y+\frac{8\pi \left(I-3\right)}{I}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{8\pi \left(-3+I\right)}{I} वजा करा.

$$\left(-\frac{1}{2}+\frac{3\pi }{I}\right)y=-8\pi -1+\frac{24\pi }{I}$$

दोन्ही बाजूंना \frac{3\pi }{I}-\frac{1}{2} ने विभागा.

$$y=\frac{2\left(24\pi -I-8\pi I\right)}{6\pi -I}$$

x=\frac{3}{I}y+8-\frac{24}{I} मध्ये y साठी \frac{2\left(24\pi -8I\pi -I\right)}{6\pi -I} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{I}\times \frac{2\left(24\pi -I-8\pi I\right)}{6\pi -I}+8-\frac{24}{I}$$

\frac{2\left(24\pi -8I\pi -I\right)}{6\pi -I} ला \frac{3}{I} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{6\left(24\pi -I-8\pi I\right)}{I\left(6\pi -I\right)}+8-\frac{24}{I}$$

-\frac{24}{I}+8 ते \frac{6\left(24\pi -8I\pi -I\right)}{I\left(6\pi -I\right)} जोडा.

$$x=\frac{2\left(9-4I\right)}{6\pi -I}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2\left(9-4I\right)}{6\pi -I},y=\frac{2\left(24\pi -I-8\pi I\right)}{6\pi -I}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$I\left(x-8\right)=3y-24$$

I ला x-8 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$Ix-8I=3y-24$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$Ix-8I-3y=-24$$

दोन्ही बाजूंना 8I जोडा.

$$Ix-3y=-24+8I$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. y+2 ला \frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\pi x+2=\frac{1}{2}y+1$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}y वजा करा.

$$\pi x+2-\frac{1}{2}y=1$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$\pi x-\frac{1}{2}y=1-2$$

-1 मिळविण्यासाठी 1 मधून 2 वजा करा.

$$\pi x-\frac{1}{2}y=-1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$Ix-3y=8I-24,\pi x-\frac{1}{2}y=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}I&-3\\\pi &-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8I-24\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}I&-3\\\pi &-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}I&-3\\\pi &-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}I&-3\\\pi &-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}I&-3\\\pi &-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8I-24\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}I&-3\\\pi &-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8I-24\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}I&-3\\\pi &-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8I-24\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{I\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-3\pi \right)}&-\frac{-3}{I\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-3\pi \right)}\\-\frac{\pi }{I\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-3\pi \right)}&\frac{I}{I\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-3\pi \right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8I-24\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\pi -I}&\frac{6}{6\pi -I}\\-\frac{2\pi }{6\pi -I}&\frac{2I}{6\pi -I}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8I-24\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{1}{6\pi -I}\right)\left(8I-24\right)+\frac{6}{6\pi -I}\left(-1\right)\\\left(-\frac{2\pi }{6\pi -I}\right)\left(8I-24\right)+\frac{2I}{6\pi -I}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(9-4I\right)}{6\pi -I}\\\frac{2\left(24\pi -I-8\pi I\right)}{6\pi -I}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{2\left(9-4I\right)}{6\pi -I},y=\frac{2\left(24\pi -I-8\pi I\right)}{6\pi -I}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$I\left(x-8\right)=3y-24$$

I ला x-8 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$Ix-8I=3y-24$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$Ix-8I-3y=-24$$

दोन्ही बाजूंना 8I जोडा.

$$Ix-3y=-24+8I$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. y+2 ला \frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$\pi x+2=\frac{1}{2}y+1$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}y वजा करा.

$$\pi x+2-\frac{1}{2}y=1$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$\pi x-\frac{1}{2}y=1-2$$

-1 मिळविण्यासाठी 1 मधून 2 वजा करा.

$$\pi x-\frac{1}{2}y=-1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$Ix-3y=8I-24,\pi x-\frac{1}{2}y=-1$$

Ix आणि \pi x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \pi ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना I ने गुणाकार करा.

$$\pi Ix+\pi \left(-3\right)y=\pi \left(8I-24\right),I\pi x+I\left(-\frac{1}{2}\right)y=I\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$\pi Ix+\left(-3\pi \right)y=8\pi \left(I-3\right),\pi Ix+\left(-\frac{I}{2}\right)y=-I$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \pi Ix+\left(-3\pi \right)y=8\pi \left(I-3\right) मधून \pi Ix+\left(-\frac{I}{2}\right)y=-I वजा करा.

$$\pi Ix+\left(-\pi I\right)x+\left(-3\pi \right)y+\frac{I}{2}y=8\pi \left(I-3\right)+I$$

\pi Ix ते -\pi Ix जोडा. \pi Ix आणि -\pi Ix रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-3\pi \right)y+\frac{I}{2}y=8\pi \left(I-3\right)+I$$

-3\pi y ते \frac{Iy}{2} जोडा.

$$\left(\frac{I}{2}-3\pi \right)y=8\pi \left(I-3\right)+I$$

दोन्ही बाजूंना -3\pi +\frac{I}{2} ने विभागा.

$$y=\frac{2\left(8\pi I+I-24\pi \right)}{I-6\pi }$$

\pi x-\frac{1}{2}y=-1 मध्ये y साठी \frac{2\left(-24\pi +8\pi I+I\right)}{-6\pi +I} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$\pi x-\frac{1}{2}\times \frac{2\left(8\pi I+I-24\pi \right)}{I-6\pi }=-1$$

\frac{2\left(-24\pi +8\pi I+I\right)}{-6\pi +I} ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$\pi x-\frac{8\pi I+I-24\pi }{I-6\pi }=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{-24\pi +8\pi I+I}{-6\pi +I} जोडा.

$$\pi x=\frac{2\pi \left(4I-9\right)}{I-6\pi }$$

दोन्ही बाजूंना \pi ने विभागा.

$$x=\frac{2\left(4I-9\right)}{I-6\pi }$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2\left(4I-9\right)}{I-6\pi },y=\frac{2\left(8\pi I+I-24\pi \right)}{I-6\pi }$$