{l}{Cx+y=69}{2x+y=87} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { C x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29C\right)}{C-2}$$

$$C\neq 2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$Cx+y=69$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$Cx=-y+69$$

दोन्ही बाजूंना C ने विभागा.

$$x=\frac{1}{C}\left(-y+69\right)$$

-y+69 ला \frac{1}{C} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{69-y}{C} चा विकल्प वापरा, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}\right)+y=87$$

\frac{69-y}{C} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{2}{C}\right)y+\frac{138}{C}+y=87$$

-\frac{2y}{C} ते y जोडा.

$$\frac{C-2}{C}y+\frac{138}{C}=87$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{138}{C} वजा करा.

$$\frac{C-2}{C}y=87-\frac{138}{C}$$

दोन्ही बाजूंना \frac{-2+C}{C} ने विभागा.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C} मध्ये y साठी \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)\times \frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}+\frac{69}{C}$$

\frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C} ला -\frac{1}{C} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3\left(29C-46\right)}{C\left(C-2\right)}+\frac{69}{C}$$

\frac{69}{C} ते -\frac{3\left(-46+29C\right)}{C\left(-2+C\right)} जोडा.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}&-\frac{1}{C-2}\\-\frac{2}{C-2}&\frac{C}{C-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}\times 69+\left(-\frac{1}{C-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{C-2}\right)\times 69+\frac{C}{C-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{C-2}\\\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून Cx+y=69 मधून 2x+y=87 वजा करा.

$$Cx-2x+y-y=69-87$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$Cx-2x=69-87$$

Cx ते -2x जोडा.

$$\left(C-2\right)x=69-87$$

69 ते -87 जोडा.

$$\left(C-2\right)x=-18$$

दोन्ही बाजूंना C-2 ने विभागा.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

2x+y=87 मध्ये x साठी -\frac{18}{C-2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2\left(-\frac{18}{C-2}\right)+y=87$$

-\frac{18}{C-2} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{36}{C-2}+y=87$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{36}{C-2} जोडा.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$