{l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$Ax+By=C$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून By वजा करा.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

दोन्ही बाजूंना A ने विभागा.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

-By+C ला \frac{1}{A} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-By+C}{A} चा विकल्प वापरा, Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

\frac{-By+C}{A} ला D वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

-\frac{DBy}{A} ते Cy जोडा.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{DC}{A} वजा करा.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

दोन्ही बाजूंना C-\frac{DB}{A} ने विभागा.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A} मध्ये y साठी \frac{FA-DC}{CA-DB} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

\frac{FA-DC}{CA-DB} ला -\frac{B}{A} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

\frac{C}{A} ते -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)} जोडा.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax आणि Dx समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना D ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना A ने गुणाकार करा.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

सरलीकृत करा.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून ADx+BDy=CD मधून ADx+ACy=AF वजा करा.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

DAx ते -DAx जोडा. DAx आणि -DAx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

DBy ते -ACy जोडा.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

दोन्ही बाजूंना DB-AC ने विभागा.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Dx+Cy=F मध्ये y साठी \frac{DC-AF}{DB-AC} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

\frac{DC-AF}{DB-AC} ला C वेळा गुणाकार करा.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} वजा करा.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

दोन्ही बाजूंना D ने विभागा.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$