{l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$9x-3y-13=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 13 जोडा.

$$9x-3y=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$9x=3y+13$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

3y+13 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{3}+\frac{13}{9} चा विकल्प वापरा, 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

\frac{y}{3}+\frac{13}{9} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

\frac{2y}{3} ते y जोडा.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

\frac{26}{9} ते -4 जोडा.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{10}{9} जोडा.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9} मध्ये y साठी \frac{2}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{2}{3} चा \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{13}{9} ते \frac{2}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{5}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

9x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने गुणाकार करा.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

सरलीकृत करा.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 18x-6y-26=0 मधून 18x+9y-36=0 वजा करा.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

18x ते -18x जोडा. 18x आणि -18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6y-9y-26+36=0$$

-6y ते -9y जोडा.

$$-15y-26+36=0$$

-26 ते 36 जोडा.

$$-15y+10=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$-15y=-10$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$y=\frac{2}{3}$$

2x+y-4=0 मध्ये y साठी \frac{2}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

\frac{2}{3} ते -4 जोडा.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{10}{3} जोडा.

$$2x=\frac{10}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$