{l}{9x+9y=18}{11x+9y=16} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 9 y = 18 } \\ { 11 x + 9 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$9x+9y=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9y वजा करा.

$$9x=-9y+18$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{9}\left(-9y+18\right)$$

-9y+18 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+2 चा विकल्प वापरा, 11x+9y=16.

$$11\left(-y+2\right)+9y=16$$

-y+2 ला 11 वेळा गुणाकार करा.

$$-11y+22+9y=16$$

-11y ते 9y जोडा.

$$-2y+22=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 22 वजा करा.

$$-2y=-6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=3$$

x=-y+2 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3+2$$

2 ते -3 जोडा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-9\times 11}&-\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\\-\frac{11}{9\times 9-9\times 11}&\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{11}{18}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 18+\frac{1}{2}\times 16\\\frac{11}{18}\times 18-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 9x+9y=18 मधून 11x+9y=16 वजा करा.

$$9x-11x+9y-9y=18-16$$

9y ते -9y जोडा. 9y आणि -9y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9x-11x=18-16$$

9x ते -11x जोडा.

$$-2x=18-16$$

18 ते -16 जोडा.

$$-2x=2$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-1$$

11x+9y=16 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$11\left(-1\right)+9y=16$$

-1 ला 11 वेळा गुणाकार करा.

$$-11+9y=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 11 जोडा.

$$9y=27$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$y=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=3$$