{l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$80x+160y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 160y वजा करा.

$$80x=-160y+4$$

दोन्ही बाजूंना 80 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

-160y+4 ला \frac{1}{80} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+\frac{1}{20} चा विकल्प वापरा, x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

-2y ते 3y जोडा.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{20} वजा करा.

$$y=\frac{1}{20}$$

x=-2y+\frac{1}{20} मध्ये y साठी \frac{1}{20} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

\frac{1}{20} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{20} ते -\frac{1}{10} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{1}{20}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

80x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 80 ने गुणाकार करा.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

सरलीकृत करा.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 80x+160y=4 मधून 80x+240y=8 वजा करा.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

80x ते -80x जोडा. 80x आणि -80x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$160y-240y=4-8$$

160y ते -240y जोडा.

$$-80y=4-8$$

4 ते -8 जोडा.

$$-80y=-4$$

दोन्ही बाजूंना -80 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{20}$$

x+3y=0.1 मध्ये y साठी \frac{1}{20} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

\frac{1}{20} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{20} वजा करा.

$$x=-\frac{1}{20}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$