{l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$80x+160y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 160y वजा करा.

$$80x=-160y+4$$

दोन्ही बाजूंना 80 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

-160y+4 ला \frac{1}{80} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+\frac{1}{20} चा विकल्प वापरा, 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

-2y+\frac{1}{20} ला 5600 वेळा गुणाकार करा.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

-11200y ते 5600y जोडा.

$$-5600y+280=5536$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 280 वजा करा.

$$-5600y=5256$$

दोन्ही बाजूंना -5600 ने विभागा.

$$y=-\frac{657}{700}$$

x=-2y+\frac{1}{20} मध्ये y साठी -\frac{657}{700} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

-\frac{657}{700} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{20} ते \frac{657}{350} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{1349}{700}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

80x आणि 5600x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5600 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 80 ने गुणाकार करा.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

सरलीकृत करा.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 448000x+896000y=22400 मधून 448000x+448000y=442880 वजा करा.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

448000x ते -448000x जोडा. 448000x आणि -448000x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

896000y ते -448000y जोडा.

$$448000y=22400-442880$$

22400 ते -442880 जोडा.

$$448000y=-420480$$

दोन्ही बाजूंना 448000 ने विभागा.

$$y=-\frac{657}{700}$$

5600x+5600y=5536 मध्ये y साठी -\frac{657}{700} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

-\frac{657}{700} ला 5600 वेळा गुणाकार करा.

$$5600x-5256=5536$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5256 जोडा.

$$5600x=10792$$

दोन्ही बाजूंना 5600 ने विभागा.

$$x=\frac{1349}{700}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$