{l}{8y+x=7}{7y+8x=16} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8y+x=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून x वजा करा.

$$8y=-x+7$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

-x+7 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-x+7}{8} चा विकल्प वापरा, 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

\frac{-x+7}{8} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

-\frac{7x}{8} ते 8x जोडा.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{49}{8} वजा करा.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{57}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{79}{57}$$

y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8} मध्ये x साठी \frac{79}{57} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{79}{57} चा -\frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{8} ते -\frac{79}{456} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=\frac{40}{57}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

8y आणि 7y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

सरलीकृत करा.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 56y+7x=49 मधून 56y+64x=128 वजा करा.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

56y ते -56y जोडा. 56y आणि -56y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7x-64x=49-128$$

7x ते -64x जोडा.

$$-57x=49-128$$

49 ते -128 जोडा.

$$-57x=-79$$

दोन्ही बाजूंना -57 ने विभागा.

$$x=\frac{79}{57}$$

7y+8x=16 मध्ये x साठी \frac{79}{57} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

\frac{79}{57} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{632}{57} वजा करा.

$$7y=\frac{280}{57}$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=\frac{40}{57}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$