{l}{8x-9y=10}{-5x-3y=11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 10 } \\ { - 5 x - 3 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x-9y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 9y जोडा.

$$8x=9y+10$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+10\right)$$

9y+10 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{9y}{8}+\frac{5}{4} चा विकल्प वापरा, -5x-3y=11.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=11$$

\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{25}{4}-3y=11$$

-\frac{45y}{8} ते -3y जोडा.

$$-\frac{69}{8}y-\frac{25}{4}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{25}{4} जोडा.

$$-\frac{69}{8}y=\frac{69}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{69}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=\frac{9}{8}y+\frac{5}{4} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{9}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

-2 ला \frac{9}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{4} ते -\frac{9}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\left(-3\right)-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{3}{23}\\-\frac{5}{69}&-\frac{8}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 10-\frac{3}{23}\times 11\\-\frac{5}{69}\times 10-\frac{8}{69}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x-9y=10,-5x-3y=11$$

8x आणि -5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 10,8\left(-5\right)x+8\left(-3\right)y=8\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$-40x+45y=-50,-40x-24y=88$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -40x+45y=-50 मधून -40x-24y=88 वजा करा.

$$-40x+40x+45y+24y=-50-88$$

-40x ते 40x जोडा. -40x आणि 40x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$45y+24y=-50-88$$

45y ते 24y जोडा.

$$69y=-50-88$$

-50 ते -88 जोडा.

$$69y=-138$$

दोन्ही बाजूंना 69 ने विभागा.

$$y=-2$$

-5x-3y=11 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-5x-3\left(-2\right)=11$$

-2 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-5x+6=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$-5x=5$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-2$$