{l}{8x-5y-3=0}{5*(y-3x)=-10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y - 3 = 0 } \\ { 5 \cdot ( y - 3 x ) = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$8x-5y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 मिळविण्यासाठी -10 ला 5 ने भागाकार करा.

$$y-3x=-2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x-5y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$8x=5y+3$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+3\right)$$

5y+3 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y+3}{8} चा विकल्प वापरा, -3x+y=-2.

$$-3\left(\frac{5}{8}y+\frac{3}{8}\right)+y=-2$$

\frac{5y+3}{8} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{8}y-\frac{9}{8}+y=-2$$

-\frac{15y}{8} ते y जोडा.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{9}{8}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{9}{8} जोडा.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{7}{8}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{3}{8} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5+3}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{8} ते \frac{5}{8} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$8x-5y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 मिळविण्यासाठी -10 ला 5 ने भागाकार करा.

$$y-3x=-2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{8}{8-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3-\frac{5}{7}\left(-2\right)\\-\frac{3}{7}\times 3-\frac{8}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$8x-5y=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y-3x=\frac{-10}{5}$$

-2 मिळविण्यासाठी -10 ला 5 ने भागाकार करा.

$$y-3x=-2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x-5y=3,-3x+y=-2$$

8x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 8x-3\left(-5\right)y=-3\times 3,8\left(-3\right)x+8y=8\left(-2\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-24x+15y=-9,-24x+8y=-16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -24x+15y=-9 मधून -24x+8y=-16 वजा करा.

$$-24x+24x+15y-8y=-9+16$$

-24x ते 24x जोडा. -24x आणि 24x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y-8y=-9+16$$

15y ते -8y जोडा.

$$7y=-9+16$$

-9 ते 16 जोडा.

$$7y=7$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=1$$

-3x+y=-2 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+1=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$-3x=-3$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=1$$