{l}{8x-5y=10}{6x-4y=11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x-5y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$8x=5y+10$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

10+5y ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} चा विकल्प वापरा, 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

\frac{5}{4}+\frac{5y}{8} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

\frac{15y}{4} ते -4y जोडा.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{2} वजा करा.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने गुणाकार करा.

$$y=-14$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} मध्ये y साठी -14 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

-14 ला \frac{5}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{4} ते -\frac{35}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{15}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 48x-30y=60 मधून 48x-32y=88 वजा करा.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

48x ते -48x जोडा. 48x आणि -48x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-30y+32y=60-88$$

-30y ते 32y जोडा.

$$2y=60-88$$

60 ते -88 जोडा.

$$2y=-28$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-14$$

6x-4y=11 मध्ये y साठी -14 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

-14 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+56=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 56 वजा करा.

$$6x=-45$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=-\frac{15}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$