{l}{8x+y=64}{x+y=42} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x+y=64,x+y=42$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x+y=64$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$8x=-y+64$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

-y+64 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{8}+8 चा विकल्प वापरा, x+y=42.

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

-\frac{y}{8} ते y जोडा.

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$\frac{7}{8}y=34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{272}{7}$$

x=-\frac{1}{8}y+8 मध्ये y साठी \frac{272}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{272}{7} चा -\frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

8 ते -\frac{34}{7} जोडा.

$$x=\frac{22}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x+y=64,x+y=42$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x+y=64,x+y=42$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+y=64 मधून x+y=42 वजा करा.

$$8x-x+y-y=64-42$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8x-x=64-42$$

8x ते -x जोडा.

$$7x=64-42$$

64 ते -42 जोडा.

$$7x=22$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{22}{7}$$

x+y=42 मध्ये x साठी \frac{22}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$\frac{22}{7}+y=42$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{22}{7} वजा करा.

$$y=\frac{272}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$