{l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x+3y=103.1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$8x=-3y+103.1$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

-3y+103.1 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} चा विकल्प वापरा, 12x+8y=139.4.

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

-\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

-\frac{9y}{2} ते 8y जोडा.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3093}{20} वजा करा.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{61}{14}$$

x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80} मध्ये y साठी -\frac{61}{14} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{61}{14} चा -\frac{3}{8} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1031}{80} ते \frac{183}{112} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{2033}{140}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

8x आणि 12x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

सरलीकृत करा.

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 96x+36y=1237.2 मधून 96x+64y=1115.2 वजा करा.

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

96x ते -96x जोडा. 96x आणि -96x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

36y ते -64y जोडा.

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 1237.2 ते -1115.2 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$-28y=122$$

दोन्ही बाजूंना -28 ने विभागा.

$$y=-\frac{61}{14}$$

12x+8y=139.4 मध्ये y साठी -\frac{61}{14} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

-\frac{61}{14} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{244}{7} जोडा.

$$12x=\frac{6099}{35}$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$x=\frac{2033}{140}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$