{l}{8x+2y=104}{1x+1y=25} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 104 } \\ { 1 x + 1 y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=9$$

$$y=16$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x+2y=104$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$8x=-2y+104$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+104\right)$$

-2y+104 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{4}y+13$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{4}+13 चा विकल्प वापरा, x+y=25.

$$-\frac{1}{4}y+13+y=25$$

-\frac{y}{4} ते y जोडा.

$$\frac{3}{4}y+13=25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 13 वजा करा.

$$\frac{3}{4}y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=16$$

x=-\frac{1}{4}y+13 मध्ये y साठी 16 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{4}\times 16+13$$

16 ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-4+13$$

13 ते -4 जोडा.

$$x=9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=9,y=16$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-2}&-\frac{2}{8-2}\\-\frac{1}{8-2}&\frac{8}{8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 104-\frac{1}{3}\times 25\\-\frac{1}{6}\times 104+\frac{4}{3}\times 25\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=9,y=16$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

8x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$8x+2y=104,8x+8y=8\times 25$$

सरलीकृत करा.

$$8x+2y=104,8x+8y=200$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+2y=104 मधून 8x+8y=200 वजा करा.

$$8x-8x+2y-8y=104-200$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-8y=104-200$$

2y ते -8y जोडा.

$$-6y=104-200$$

104 ते -200 जोडा.

$$-6y=-96$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=16$$

x+y=25 मध्ये y साठी 16 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+16=25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 16 वजा करा.

$$x=9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=9,y=16$$