{l}{8a-b=9}{4a+9b=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8a-b=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस b जोडा.

$$8a=b+9$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

b+9 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी \frac{9+b}{8} चा विकल्प वापरा, 4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

\frac{9+b}{8} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

\frac{b}{2} ते 9b जोडा.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=\frac{5}{19}$$

a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8} मध्ये b साठी \frac{5}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{5}{19} चा \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{8} ते \frac{5}{152} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$a=\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

8a आणि 4a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 32a-4b=36 मधून 32a+72b=56 वजा करा.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

32a ते -32a जोडा. 32a आणि -32a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4b-72b=36-56$$

-4b ते -72b जोडा.

$$-76b=36-56$$

36 ते -56 जोडा.

$$-76b=-20$$

दोन्ही बाजूंना -76 ने विभागा.

$$b=\frac{5}{19}$$

4a+9b=7 मध्ये b साठी \frac{5}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

\frac{5}{19} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{45}{19} वजा करा.

$$4a=\frac{88}{19}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$a=\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$